Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結論中一定成立的是______．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

①在ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中點，則AF＝FD＝CD，∠DFC＝∠DCF，再根據∠DFC＝∠FCB，得到∠DCF＝∠BCF即可證明；②延長EF，交CD延長線于M，證明△AEF≌△DMF即可轉換得到EF＝CF；③由②得到的EF＝FM，知S△EFC＝S△CFM，由于MC＞BE，可得S△BEC≤2S△EFC；④設∠FEC＝x，則∠FCE＝x，∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，再分別用x表示出∠DFE和∠AEF，判斷即可.

①∵F是AD的中點，

∴AF＝FD，

∵在ABCD中，AD＝2AB，

∴AF＝FD＝CD，

∴∠DFC＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC＝∠FCB，

∴∠DCF＝∠BCF，

∴∠DCF＝∠BCD，故此選項正確；

延長EF，交CD延長線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠MDF，

∵F為AD中點，

∴AF＝FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ECD＝90°，

∵FM＝EF，

∴FC＝EF，故②正確；

③∵EF＝FM，

∴S△EFC＝S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC≤2S△FCM，

∴S△BEC≤2S△EFC，

故S△BEC＝2S△CEF錯誤；

④設∠FEC＝x，則∠FCE＝x，

∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，

∴∠EFC＝180°﹣2x，

∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，

∵∠AEF＝90°﹣x，

∴∠DFE＝3∠AEF，故此選項正確．

故答案為：①②④．