Question

【題目】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，F、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE，求證：AB=CD；（提示取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)FH，HE作輔助線(xiàn)）

（2）如圖2，在△ABC中，且O是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線(xiàn)OE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）OE=.

【解析】

（1）連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH，證明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，證出HE=HF，進(jìn)而證出AB=CD；
（2）連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、OH，證明出HO=HE，可證明證出△OEH是等邊三角形，進(jìn)而求出OE=.

（1） 證明：如圖一，連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH.

∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，

∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，

∵∠BME=∠CNE，

∴∠HEF=∠HFE，

∴HE=HF，

∴AB=CD；

（2） 如圖二，連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、OH，

∵AB=CD，HE為△ABD的中位線(xiàn)，HO為△BCD的中位線(xiàn)，

∴HO=HE=AB=CD，，

∴∠HOE=∠HEO，

∵OH∥AC，∠OEC=60°，

∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°，

∴△OEH是等邊三角形，

∵AB=DC=5，

∴OE=.

故答案為：（1）證明見(jiàn)解析；（2）OE=.