Question

等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC邊上一點(diǎn)，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點(diǎn)E、F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；
（2）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持PE⊥AB，設(shè)BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）如圖3，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時(shí)，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三等分點(diǎn)的定義，求得BP與PC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形中30度的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BE的長(zhǎng)，即可作出判斷；
（2）分別表示出△ABC、△BPE、△PCF的面積，根據(jù)四邊形AEPF的面積=△ABC的面積-△BPE的面積-△PCF的面積，即可求解；
（3）首先證明△BPE∽△CFP，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得BP的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求得PE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P為BC的三等分點(diǎn)，
∴BP=

2

3

BC=4，PC=

1

3

BC=2，
∵PE⊥AB，
∴在直角△BPE中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=

1

2

BP=2，
∴BE=CP，
又∵∠MPN=60°，
∴△EPF是等邊三角形；

（2）△ABC的面積是：

1

2

×6×6×

3

2

=9

3

；
BP=x，則BE=

1

2

BP=

1

2

x．EP=

3

BE=

3

2

x，PC=6-x，PF=

3

PC=

3

（6-x）．
則△BPE的面積是：

1

2

BE•EP=

1

2

×

1

2

x•

3

2

x=

3

8

x²，
△PCF的面積是：

1

2

PC•PF=

1

2

（6-x）•

3

（6-x）=

3

2

（6-x）²．
∴四邊形AEPF面積的y=9

3

-

3

8

x²-

3

2

（6-x）²；
即y=-

5 3

8

x²+6

3

x-9

3

（3＜x＜6）；

（3）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴

BP

CF

=

BE

CP

，
設(shè)BP=x，則CP=6-x．
∴

x

2

=

4

6-x

，
解得：x=2或4．
當(dāng)x=2時(shí)，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
則PE=2

3

；
當(dāng)x=4時(shí)，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
則△BEP是等邊三角形，∴PE=4．
故PE=2

3

或4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求得BP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．