Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D是AC的中點(diǎn)，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使EP=DP，過(guò)P作PK⊥AC，K為垂足．設(shè)AP=m（0≤m≤5）．
（1）用含m的代數(shù)式表示DK的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AE∥BC時(shí)，求m的值；
（3）四邊形AEBC的面積S會(huì)隨m的變化而變化嗎？若不變，求出S的值；若變化，求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）作點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E'，當(dāng)△DE'K是等腰三角形時(shí)，求m的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可得AK=，再分0≤m≤2.5和2.5＜m≤5兩種情況討論可得DK的長(zhǎng)；
（2）先證△DPK∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得m的值；
（3）分別過(guò)D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足，由AAS可證△DGP≌△EHP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)可得EH=DG=×2=，則S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE，求得S的值；
（4）找到E點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E'在DK的垂直平分線上的點(diǎn)，依此得到m的值．
解答：解：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中
cos∠BAC=
∴AK=…（1分）
∴當(dāng)0≤m≤2.5時(shí)，DK=2-；
當(dāng)2.5＜m≤5時(shí)，DK=-2；

（2）∵PK⊥AC，∠C=Rt∠，
∴PK∥BC∥AE，
∴△DPK∽△EDA，
∴，
∵EP=DP，
∴，即DK=AD=1，
∴2-=1，
解得 ；

（3）四邊形AEBC的面積S不變，且S=9   
理由如下：
分別過(guò)D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足
則∠DGP=∠EHP=Rt∠
∵在△DPK與△EDA中，
，
∴△DGP≌△EHP（AAS）
∴DG=EH   
∵sin∠BAC=
∴EH=DG=×2=，
∴S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE=×3×4+×5×=9；

（4）當(dāng)△DE'K是等腰三角形時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．