Question

【題目】已知在長方形ABCD中，AB=4，BC= ，O為BC上一點，BO= ，如圖所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，M為線段OC上的一點．

（1）若點M的坐標為（1，0），如圖①，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點P在y軸上，則符合條件的等腰三角形有幾個？請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；
（2）若點M的坐標為（1，0），如圖①，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點P落在長方形ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個？請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．
（3）若將（2）中的點M的坐標改為（4，0），其它條件不變，如圖②，那么符合條件的等腰三角形有幾個？求出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，點P在y軸上，

∴OP=OM，又點M的坐標為（1，0），

∴OP=OM=1，

∴符合條件的等腰三角形有2個，

則點P的坐標為（0，﹣1）、（0，1）；

（2）解：由題意得，OM為等腰△OMP的底邊，

則點P在線段OM的垂直平分線上，

∴點P的坐標為：（1，4），

則符合條件的等腰三角形有1個；

（3）解：如圖，

∵OP=OM，

∴OP=4，

∴BP= = ，

∴點P的坐標為（﹣ ， ），

由題意得，P′的坐標為（0，4），P′′的坐標為（1，4），P′′′的坐標為（4，4），

符合條件的等腰三角形有4個．

【解析】（1）抓住已知條件，是以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，且使點P在y軸上，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答。
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可。
（3）分OM=OP、OP=PM、OM=MP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．