Question

14．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延長(zhǎng)DC到E，使得CE=CD，連接AE交BC于F，下面有三個(gè)結(jié)論：①AF=FE，②BF-FC=BC-CD，③AE＞BC，其中正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)．

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行線分線段成比例定理直接得出；
②作腰的平行線，證明△AGF≌△ECF，得FG=FC，則BF-FC=BC-CG，而且CG和CD不一定相等，所以結(jié)論不正確；
③作輔助線，構(gòu)建?ABCM，證明△AEM是直角三角形，根據(jù)垂線段最短得AE＞AM，則AE＞BC，結(jié)論正確．

解答 解：①如圖1，∵AD∥BC，
∴$\frac{EC}{DC}=\frac{EF}{AF}$，
∵DC=EC，
∴AF=FE；
所以此選項(xiàng)正確；
②如圖2，過(guò)A作AG∥CD，交BC于G，
∴∠AGF=∠FCE，
∵AF=EF，∠AFG=∠EFC，
∴△AGF≌△ECF，
∴FG=FC，
∴BF-FC=BF-FG=BG，
∵BG=BC-CG，
∴BF-FC=BC-CG，
只有當(dāng)CG=CD時(shí)，BF-FC=BC-CD成立，
∵CG與CD不一定相等，
所以此選項(xiàng)不正確；
③如圖3，延長(zhǎng)AD至M，使AM=BC，連接CM、EM，
∵AM∥BC，
∴四邊形ABCM是平行四邊形，
∴CM=AB，
∴DC=CM=CE，
∴∠CDM=∠CMD，∠CME=∠CEM，
∴∠CDM+∠CEM=∠CMD+∠CME=90°，
∴△AEM是直角三角形，
∴AE＞AM，
∴AE＞BC，
所以此選項(xiàng)正確，
故本題正確的結(jié)論有2個(gè)，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角梯形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定，在梯形的問(wèn)題中，常常需要輔助線的幫助解決問(wèn)題，一般輔助線的作法是：①作高，②作對(duì)角線的平行線，③作腰的平行線等，通過(guò)輔助線構(gòu)建平行四邊形或全等三角形；本題的第③問(wèn)有難度，比較兩線段的大小，一般情況下，可以利用第三邊轉(zhuǎn)化，或利用輔助線將要比較大小的邊放在同一三角形中來(lái)解決，本題就是利用了后一種方法．