Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；②分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③作射線(xiàn)AG交BC邊于點(diǎn)D．則∠ADC的度數(shù)為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，AG是∠CAB的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)解答即可．
解答：解：解法一：連接EF．
∵點(diǎn)E、F是以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AB、AC的交點(diǎn)，
∴AF=AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G；
∴AG是線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)，
∴AG平分∠CAB，
∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的兩個(gè)銳角互余）；

解法二：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，AG是∠CAB的平分線(xiàn)，∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的兩個(gè)銳角互余）；
故答案是：65°．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了作圖--復(fù)雜作圖，直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)作圖過(guò)程推知AG是∠CAB平分線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．