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如圖(1),△ABC與△EFD為等腰直角三角形,AC與DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,將△DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)DF邊與AB邊重合時,旋轉(zhuǎn)中止.現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況,設(shè)DE,DF(或它們的延長線)分別交BC(或它們的延長線)所在的直線于G,H點,如圖(2)

(1)問:始終與△AGC相似的三角形有______及______;
(2)設(shè)CG=x,BH=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由);
(3)問:當(dāng)x為何值時,△AGH是等腰三角形.
【答案】分析:(1)根據(jù)△ABC與△EFD為等腰直角三角形,AC與DE重合,利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論.
(2)由△AGC∽△HAB,利用其對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x、y的關(guān)系式:9:y=x:9即可.
(3)此題要采用分類討論的思想,當(dāng)CG<BC時,當(dāng)CG=BC時,當(dāng)CG>BC時分別得出即可.
解答:解:(1)∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形,AC與DE重合,
∵∠H+∠HAC=45°,∠HAC+∠CAG=45°,
∴∠H=∠CAG,
∵∠ACG=∠B=45°,
∴△AGC∽△HAB,
∴同理可得出:始終與△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA;
故答案為:△HAB和△HGA.

(2)∵△AGC∽△HAB,
∴AC:HB=GC:AB,即9:y=x:9,
∴y=(0<x<9),
∵AB=AC=9,∠BAC=90°,
∴BC===9
答:y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=(0<x<9).

(3)①當(dāng)CG<BC時,∠GAC=∠H<∠HAG,
∴AG<GH,
∵GH<AH,
∴AG<CH<GH,
又∵AH>AG,AH>GH,
此時,△AGH不可能是等腰三角形,
②當(dāng)CG=BC時,G為BC的中點,H與C重合,△AGH是等腰三角形,
此時,GC=,即x=
③當(dāng)CG>BC時,由(1)△AGC∽△HGA,
所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在GH=AH,
若GH=AH,則AC=CG,此時x=9,
如圖(3),當(dāng)CG=BC時,
注意:DF才旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置,
此時B,E,G重合,∠AGH=∠GAH=45°,
所以△AGH為等腰三角形,所以CG=9
綜上所述,當(dāng)x=9或x=或9時,△AGH是等腰三角形.
點評:此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握,綜合性較強(qiáng),難易程度適中,是一道很典型的題目.
練習(xí)冊系列答案
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(2)求:∠BFD的度數(shù).

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13、如圖,△DEF是由△ABC平移得到的,若BC=6cm,E是BC的中點,則平移的距離是
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(1)填空:當(dāng)點D運動到點M時,∠ACE=
 
度;
(2)當(dāng)點D在線段AM上(點D不運動到點A)時,求證:△ADC≌△BEC;
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精英家教網(wǎng)如圖,圓內(nèi)接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE為⊙O的半徑,OD⊥BC于點F,OE⊥AC于點G,陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的
 

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同步練習(xí)冊答案
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