Question

【題目】如圖，在足夠大的空地上有一段長為米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園

（1）如圖1其中，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了米木欄.

①若，所圍成的矩形菜園的面積為平方米，求所利用舊墻的長；

②求矩形菜園面積的最大值.

（2）如圖2，若，則舊墻與木欄能圍成的矩形菜園面積的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）①；②I 當(dāng)時，的最大值為；II 當(dāng)時，的范圍為，的最大值為；（2）時，的最大值為.

【解析】

（1）①設(shè)AB=xm，則BC=（100-2x）m，利用矩形的面積公式得到x（100-2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后計算100-2x后與20進(jìn)行大小比較即可得到AD的長；
②設(shè)AD=xm，利用矩形面積得到S=x（100-x），配方得到S=-（x-50）2+1250，討論：當(dāng)a≥50時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得S的最大值為1250m2；當(dāng)0＜a＜50時，則當(dāng)0＜x≤a時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得S的最大值為50a-a2．

（2）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)AB=xm，則BC=（100-2x）m，
根據(jù)題意得x（100-2x）=450，解得x1=5，x2=45，
當(dāng)x=5時，100-2x=90＞20，不合題意舍去；
當(dāng)x=45時，100-2x=10，
答：AD的長為10m；
（2）設(shè)AD=xm，
∴S=x（100-x）=-（x-50）2+1250，
當(dāng)a≥50時，則x=50時，S的最大值為1250；
當(dāng)0＜a＜50時，則當(dāng)0＜x≤a時，S隨x的增大而增大，當(dāng)x=a時，S的最大值為50a-a2，
綜上所述，當(dāng)a≥50時，S的最大值為1250m2；當(dāng)0＜a＜50時，S的最大值為（50a-a2）m2．

（2）設(shè)四邊形ABCD的面積為W，AD=x，則AB=60-x，
∴W=x（60-x）=-（x-30）2+900（10＜x＜60），
∴當(dāng)x=30時，矩形菜園ABCD面積的最大值是900m2．
故答案為：900．