Question

【題目】如圖（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，求證：∠BOC=90+∠A．

變式1：如圖（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分線交于點O，求證：∠BOC=∠A．

變式2：如圖（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分線交于點O，求證：∠BOC=90-∠A．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）先根據(jù)三角形內角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；

變式1：根據(jù)BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，由三角形外角性質可得；∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1，兩式聯(lián)立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1，即∠BOC=∠A．

變式2：根據(jù)三角形外角平分線的性質可得∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內角和定理可得∠BOC=90-∠A..

（1）證明：在△BOC中，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A；

變式1：∵BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，

∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD

∵∠2、∠ACO分別是△BCO、△ABC的外角

∴∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1，

∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1，

∴∠BOC=∠A．

變式2：∵BO、CO為△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分線.
∴∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB），
由三角形內角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC，
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°- （∠A+180°），
=90°- ∠A；