Question

16．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，過E作EF⊥AD，垂足為H，并交BC延長線于F．
（1）求證：AE=ED；
（2）請猜想∠B與∠CAF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）感覺平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即刻得到結(jié)論；
（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)證明FA=FD，得到∠FAD=∠FDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，根據(jù)等量代換得到答案．

解答 證明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；
（2）∠B=∠CAF，
證明：∵AE=ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分線，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，
∴∠B=∠CAF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．