【題目】定義:在平面直角坐標系中,圖形G上點P(x,y)的縱坐標y與其橫坐標x的差y﹣x稱為P點的“坐標差”,記作Zp,而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”.
(1)①點A(3,1)的“坐標差”為_______;
②拋物線y=﹣x2+5x的“特征值”為________;
(2)某二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”為﹣1,點B(m,0)與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點,且點B與點C的“坐標差”相等.
①直接寫出m=______;(用含c的式子表示)
②求此二次函數(shù)的表達式.
(3)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點D(4,0),以OD為直徑作⊙M,直線y=x+b與⊙M相交于點E、F.
①比較點E、F的“坐標差”ZE、ZF的大。
②請直接寫出⊙M的“特征值”為_______.
【答案】(1)①-2;②4;(2)①-c;②y=﹣x2+3x﹣2;(3)①ZE=ZF;②2﹣2.
【解析】
(1)①由“坐標差”的定義可求出點A(3,1)的“坐標差”;
②用y﹣x可找出y﹣x關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用配方法即可求出y﹣x的最大值,進而可得出拋物線y=﹣x2+5x的“特征值”;
(2)①利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,由“坐標差”的定義結(jié)合點B與點C的“坐標差”相等,即可求出m的值;
②由點B的坐標利用待定系數(shù)法可找出b,c之間的關(guān)系,找出y﹣x關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”為﹣1,即可得出關(guān)于b的一元二次方程,解之即可得出b的值,進而可得出c的值,此問得解;
(3)①利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可設(shè)點E的坐標為(xE,xE+b),點F的坐標為(xF,xF+b),結(jié)合“坐標差”的定義可得出ZE=ZF;
②作直線y=x+n(n>0)與⊙M相切,設(shè)切點為N,該直線與x軸交于點Q,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點Q的坐標,再利用待定系數(shù)法可求出n值,結(jié)合“特征值”的定義即可找出⊙M的“特征值”.
(1)①1﹣3=﹣2.
故答案為:﹣2.
②y﹣x=﹣x2+5x﹣x=﹣(x﹣2)2+4,
∵﹣1<0,
∴當x=2時,y﹣x取得最大值,最大值為4.
故答案為:4.
(2)①當x=0時,y=﹣x2+bx+c=c,
∴點C的坐標為(0,c).
∵點B與點C的“坐標差”相等,
∴0﹣m=c﹣0,
∴m=﹣c.
故答案為:﹣c.
②由①可知:點B的坐標為(﹣c,0).
將點B(﹣c,0)代入y=﹣x2+bx+c,得:0=﹣c2﹣bc+c,
∴c1=1﹣b,c2=0(舍去).
∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”為﹣1,
∴y﹣x=﹣x2+(b﹣1)x+1﹣b的最大值為﹣1,
∴=-1,
解得:b=3,
∴c=1﹣b=﹣2,
∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+3x﹣2.
(3)①∵點E,F在直線y=x+b上,
∴設(shè)點E的坐標為(xE,xE+b),點F的坐標為(xF,xF+b),
∴ZE=xE+b﹣xE=b,ZF=xF+b﹣xF=b,
∴ZE=ZF.
②作直線y=x+n(n>0)與⊙M相切,設(shè)切點為N,該直線與x軸交于點Q,如圖所示.
∵y﹣x=x+n﹣x=n,
∴當直線y=x+n(n>0)與⊙M相切時,y﹣x的值為⊙M的“特征值”.
∵∠NQM=45°,MN⊥NQ,MN=2,
∴△MNQ為等腰直角三角形,
∴MQ=2,
∴點Q的坐標為(2﹣2,0).
將Q(2﹣2,0)代入y=x+n,得:0=2﹣2+n,
解得:n=2﹣2,
∴⊙M的“特征值”為2﹣2.
故答案為:2﹣2.
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【題目】如圖,點P是菱形ABCD的對角線BD上一點,連接CP并延長,交AD于E,交BA的延長線于點F.
(1)圖中△APD與哪個三角形全等:_____.
(2)猜想:線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系:_____.
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【題目】某校開展了為期一周的“敬老愛親”社會活動,為了解情況,學生會隨機調(diào)查了部分學生在這次活動中做家務(wù)的時間,并將統(tǒng)計的時間(單位:小時)分成5組,A:0.5≤x<1,B:1≤x<1.5,C:1.5≤x<2,D:2≤x<2.5,E:2.5≤x<3,制作成兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖).
請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)學生會隨機調(diào)查了 名學生;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若全校有1800名學生,估計該校在這次活動中做家務(wù)的時間不少于2.5小時的學生有多少人?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別交于A、C兩點,已知點B與點D關(guān)于坐標原點O成中心對稱,且點B的坐標為其中.
四邊形ABCD的是______填寫四邊形ABCD的形狀
當點A的坐標為時,四邊形ABCD是矩形,求m,n的值.
試探究:隨著k與m的變化,四邊形ABCD能不能成為菱形?若能,請直接寫出k的值;若不能,請說明理由.
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【題目】在數(shù)學活動課中,同學們準備了一些等腰直角三角形紙片,從每張紙片中剪出一個扇形制作圓錐玩具模型.如圖,已知△ABC是腰長為16cm的等腰直角三角形.
(1)在等腰直角三角形ABC紙片中,以C為圓心,剪出一個面積最大的扇形(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)請求出所制作圓錐底面的半徑長.
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【題目】如圖,在△AOB中,∠O=90°,AO=18cm,BO=30cm,動點M從點A開始沿邊AO以1cm/s的速度向終點O移動,動點N從點O開始沿邊OB以2cm/s的速度向終點B移動,一個點到達終點時,另一個點也停止運動.如果M、N兩點分別從A、O兩點同時出發(fā),設(shè)運動時間為ts時四邊形ABNM的面積為Scm2.
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;
(2)判斷S有最大值還是有最小值,用配方法求出這個值.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是AB延長線上一點,CD與⊙O相切于點E,AD⊥CD于點D.
(1)求證:AE平分∠DAC;
(2)若AB=4,∠ABE=60°.
①求AD的長;
②求出圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,為測量某建筑物EF的高度,小明在樓AB上選擇觀測點A、C,從A測得建筑物的頂部E的仰角為37°,從C測得建筑物的頂部E的仰角為45°,A處高度為20m,C處高度為10m.求建筑物EF的高度(精確到1m).
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37≈0.75,≈1.4)
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