Question

【題目】如圖，AB與⊙O相切于點C，OA、OB分別交⊙O于點D、E、弧CD＝弧CE

(1)求證：∠A＝∠B.

(2)已知AC＝2，OA＝4，求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號和π)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)4﹣π.

【解析】

(1)連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠OCA＝∠OCB＝90°，根據(jù)弧CD＝弧CE推出∠AOC＝∠BOC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；

(2)求出∠AOB的度數(shù)和線段OC長，再根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式求出即可.

(1)證明：連接OC，

∵弧CD＝弧CE，

∴∠AOC＝∠BOC，

∵AB與⊙O相切于點C，

∴OC⊥AB，

∴∠OCA＝∠OCB＝90°，

∵∠A＝180°﹣∠OCA﹣∠AOC，∠B＝180°﹣∠OCB﹣∠BOC，

∴∠A＝∠B；

(2)解：∵∠A＝∠B，

∴OA＝OB，

∵OC⊥AB，

∵AC＝2，OA＝4，

∴BC＝AC＝2，OA＝OB＝4，AB＝4，

由勾股定理得：OC＝＝2，

∴OA＝2OC，

∴∠A＝30°，

∴∠AOC＝60°，

即∠AOB＝120°，

∴陰影部分的面積S＝S△AOB﹣S扇形DOE＝4×2﹣＝4﹣π.