Question

已知拋物線y=ax²+（

4

3

+3a）x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．是否存在實數(shù)a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

依題意，得點C的坐標為（0，4），
設點A、B的坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），
由ax²+（

4

3

+3a）x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=-

4

3a

，
∴點A、B的坐標分別為（-3，0），（-

4

3a

，0），
∴AB=|-

4

3a

+3|，AC=

AO2+OC2

=5，BC=

CB2+OC2

=

|- 4 3a |2+42

，
∴AB²=|-

4

3a

+3|²=

16

9a2

-

8

a

+9，
AC²=25，BC²=

16

9a2

+16．
（�。┊擜B²=AC²+BC²時，∠ACB=90°，
由AB²=AC²+BC²，
得

16

9a2

-

8

a

+9=25+

16

9a2

+16，
解得a=-

1

4

，
∴當a=-

1

4

時，點B的坐標為（

16

3

，0），
AB²=

625

9

，AC²=25，BC²=

400

9

，
于是AB²=AC²+BC²，
∴當a=-

1

4

時，△ABC為直角三角形．
（ⅱ）當AC²=AB²+BC²時，∠ABC=90°，
由AC²=AB²+BC²，
得25=

16

9a2

-

8

a

+9+

16

9a2

+16，
解得a=

4

9

．
當a=

4

9

時，-

4

3a

=-

4

3× 4 9

=-3，點B（-3，0）與點A重合，不合題意．
＜ⅲ＞當BC²=AC²+AB²時，∠BAC=90°，
由BC²=AC²+AB²，
得25+

16

9a2

-

8

a

+9=

16

9a2

+16，
解得a=

4

9

，
不合題意．
綜合＜�。�、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，當a=-

1

4

時，△ABC為直角三角形．