Question

16．已知拋物線y=x²+（2k+1）+k²+1（k是常數(shù)）與x軸交于A（x₁，0），A（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA+OB=OA•OB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題可判斷方程x²+（2k+1）+k²+1的兩個實(shí)數(shù)解，利用判別式的意義得到△=（2k+1）²-4（k²+1）＞0，然后解不等式即可得到k的范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可k的范圍得到x₁+x₂=-（2k+1）＜0，x₁•x₂=k²+1＞0，則利用有理數(shù)的性質(zhì)可判斷x₁＜0，x₂＜0，則OA=-x₁，OB=-x₂，所以2k+1=k²+1，解得k₁=0，k₂=2，然后根據(jù)（1）中k的范圍可確定k的值．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴方程x²+（2k+1）+k²+1的兩個實(shí)數(shù)解，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）＞0，
∴k＞$\frac{3}{4}$；
（2）根據(jù)題意得x₁、x₂是方程x²+（2k+1）+k²+1的兩個實(shí)數(shù)解，且k＞$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=-（2k+1）＜0，
x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=2k+1，
OA•OB=-x₁•（-x₂）=x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
整理得k²+2k=0，
∴k₁=0，k₂=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．熟練掌握根的判別式的意義和根與系數(shù)的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．