Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S₁、S₂、S₃、…、S_n，則S_n的值為　　　　　　．（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

　

　

Answer 1

　2^4n﹣5　．

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

【專(zhuān)題】壓軸題；規(guī)律型．

【分析】根據(jù)直線(xiàn)解析式判斷出直線(xiàn)與x軸的夾角為45°，從而得到直線(xiàn)與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出正方形的邊長(zhǎng)并得到變化規(guī)律表示出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個(gè)直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可．

【解答】解：∵函數(shù)y=x與x軸的夾角為45°，

∴直線(xiàn)y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，

∵A（8，4），

∴第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為8，

第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4，

第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，

第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，

…，

第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2^n﹣1，

由圖可知，S₁=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，

S₂=×4×4+×（4+8）×8﹣×（4+8）×8=8，

…，

S_n為第2n與第2n﹣1個(gè)正方形中的陰影部分，

第2n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2^2n﹣1，第2n﹣1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2^2n﹣2，

S_n=•2^2n﹣2•2^2n﹣2=2^4n﹣5．

故答案為：2^4n﹣5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影S_n所在的正方形和正方形的邊長(zhǎng)．