Question

四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如右圖，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．

(1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．

(2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

(3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形AB CD的準等距點．

Answer 1

解：(1)如圖2，點P即為所畫點．

  (2)如圖3，點P即為所作點．

  (3)連結(jié)DB，

    在△DCF與△BCE中，

    ∠DCF=∠BCE，

    ∠CDF=∠CBE，

    ∠ CF=CE.

    ∴△DCF≌△BCE(AAS)，

    ∴CD=CB，

   ∴∠CDB=∠CBD.

    ∴∠PDB=∠PBD，

    ∴PD=PB，

    ∵PA≠PC

∴點P是四邊形ABCD的準等距點．