Question

【題目】觀察思考：如圖， 、是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)、在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，已知， 、間的距離為，連接、、，把沿折疊得．

（）當(dāng)、兩點(diǎn)重合時(shí)，則__________ ．

（）當(dāng)、兩點(diǎn)不重合時(shí)，

①連接，探究與的位置關(guān)系，并說明理由．

②若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，畫出示意圖并直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）4；

（2）①，理由見解析；②畫圖見解析， 的長(zhǎng)為或或．

【解析】試題分析：（1）當(dāng)A1、D兩點(diǎn)重合時(shí)，可以證到四邊形ACDB是菱形，從而得到AC=AB=4cm；

（2）①過點(diǎn)A1作A1E⊥BC，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，如圖2，可以證到S△DBC=S△ABC=S△A1BC，從而得到DF=A1E，由A1E⊥BC，DF⊥BC可以證到A1E∥DF，從而得到四邊形A1DFE是平行四邊形，就可得到A1D∥BC；

②若以A1、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則有三個(gè)位置，分別是圖3①、圖3②、圖3③．對(duì)于圖3①、圖3②，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)建立方程就可求出AH，然后運(yùn)用勾股定理就可求出AC的長(zhǎng)；對(duì)于圖3③，直接運(yùn)用勾股定理就可求出AC的長(zhǎng)．

試題解析：解：（1）當(dāng)A1、D兩點(diǎn)重合時(shí)，如圖1①和圖1②．

∵CD∥AB，CD=AB，∴四邊形ACDB是平行四邊形．

∵△ABC沿BC折疊得△A1BC，A1、D兩點(diǎn)重合，∴AC=A1C=DC，∴平行四邊形ACDB是菱形，∴AC=AB=4（cm）．故答案為：4．

（2）當(dāng)A1、D兩點(diǎn)不重合時(shí)，①A1D∥BC．

證明：過點(diǎn)A1作A1E⊥BC，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，如圖2．

∵CD∥AB，CD=AB，∴四邊形ACDB是平行四邊形，∴S△ABC=S△DBC．

∵△ABC沿BC折疊得△A1BC，∴S△ABC=S△A1BC，∴S△DBC=S△A1BC，∴ BCDF=BCA1E，∴DF=A1E．

∵A1E⊥BC，DF⊥BC，∴∠A1EB=∠DFB=90°，∴A1E∥DF，∴四邊形A1DFE是平行四邊形，∴A1D∥EF，∴A1D∥BC．

②Ⅰ．如圖3①，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，此時(shí)AH＜BH．

∵四邊形A1DBC是矩形，∴∠A1CB=90°．

∵△ABC沿BC折疊得△A1BC，∴∠ACB=∠A1CB，∴∠ACB=90°．

∵CH⊥AB，∴∠AHC=∠CHB=90°，∴∠ACH=90°﹣∠HCB=∠CBH，∴△AHC∽△CHB，∴ ，∴CH2=AHBH．

∵AB=4，CH=，∴3=AH（4﹣AH）．

解得：AH=1或AH=3．

∵AH＜BH，∴AH=1，∴AC2=CH2+AH2=3+1=4，∴AC=2．

Ⅱ．如圖3②，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，此時(shí)AH＞BH．

同理可得：AH=3，∴AC2=CH2+AH2=3+9=12，∴AC=．

Ⅲ．如圖3③，∵四邊形A1DCB是矩形，∴∠A1BC=90°．∵△ABC沿BC折疊得△A1BC，∴∠ABC=∠A1BC，∴∠ABC=90°，∴AC2=BC2+AB2=3+16=19，∴AC=．

綜上所述；當(dāng)以A1、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，AC的長(zhǎng)為2或或．