【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,正方形OABC的頂點AC分別在x軸和y軸正半軸上,點B坐標為(3,3),拋物線y=﹣x2+bx+c過點AC,交x軸負半軸于點D,與BC邊的另一個交點為E,拋物線的頂點為M,對稱軸交x軸于點N

1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

2)點P在直線MN上,求當PE+PA的值最小時點P的坐標;

3)如圖2,探索在x軸是否存在一點F,使∠CFO=CDO﹣CAO?若存在,求點F的坐標;不存在,說明理由;

4)將拋物線沿y軸方向平移m個單位后,頂點為Q,若QO平分∠CQN,求點Q的坐標.

【答案】1y=-x2+2x+3;(2P1,2)(3F6,0),(-60);(4Q1, ),(1,

【解析】試題分析:(1)由已知條件易得點A和點C的坐標,再利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;(2AC與對稱軸的交點就是P,利用待定系數(shù)法求得AC的解析式,即可求得點P的坐標;(3)在y軸的正半軸上截取OH=OD=1,則H的坐標是(01),延長DHAC于點G,則DG⊥AC,∠CDH=∠CDO﹣∠CAO,當Fx軸的負半軸上時,當∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時,則△CFO∽△CDG,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得OF的長,則F的坐標即可求得,然后根據(jù)對稱性求得Fx軸的正半軸時的坐標;

4)當拋物線沿y軸的正半軸移動時,Q的橫坐標是1,QO平分∠CQN,則CQ=OC,利用勾股定理即可求得Q的縱坐標;同理求得拋物線沿y軸的負半軸移動時Q的坐標.

試題解析: 解:(1四邊形OABC是正方形,B的坐標是(3,3),

∴A的坐標是(3,0),C的坐標是(0,3).

根據(jù)題意得,

解得:,

則二次函數(shù)的解析式是y=﹣x2+2x+3;

2)設(shè)直線AC的解析式是y=ax+b

,

解得:,

則直線AC的解析式是y=﹣x+3,

x=1時,y=﹣1+3=2,

P的坐標是(12);

3)在y=﹣x2+2x+3中令y=0,則﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1x=3

D的坐標是(﹣10A的坐標是(3,0).

y軸的正半軸上截取OH=OD=1,則H的坐標是(0,1),延長DHAC于點G,則DG⊥AC

直角△ODF中,OH=OD,

∴∠HDO=45°,

同理,∠CAO=45°

∴∠HDO=∠CAO.則∠CDH=∠CDO﹣∠CAO

Fx軸的負半軸上時,

設(shè)DG的解析式是y=ex+f,則,

解得,則DG的解析式是y=x+1

根據(jù)題意得:,

解得:,

G的坐標是(1,2).

DG=,CD=CG=

∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時,△CFO∽△CDG,

,即,解得:OF=6,

F的坐標是(﹣6,0).

根據(jù)對稱性可得當Fx軸的正半軸上時F的坐標是(6,0);

4)當拋物線沿y軸的正半軸移動時,如圖3,

設(shè)Q的坐標是(1n).作QI⊥y軸于點I.則IQ=1,IC=n﹣3,

QO平分∠CQN,則CQ=OC=3,12+n﹣32=32

解得:n=3+2,

Q的坐標是(13+2);

同理,當拋物線沿y軸的負方向移動時Q的坐標是(1,3﹣2).

總之,Q的坐標是(1,3+2)或(1,3﹣2).

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