Question

已知：如圖，正△ABC的邊長為a，D為AC邊上的一個動點(diǎn)，延長AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點(diǎn)P．
（1）求證：DP=PE；
（2）若D為AC的中點(diǎn)，求BP的長．

Answer 1

（1）證明：過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于F．
∵△ABC為正三角形，
∴∠CDF=∠A=60°．
∴△CDF為正三角形．
∴DF=CD．
又BE=CD，
∴BE=DF．
又DF∥AB，
∴∠PEB=∠PDF．
∵在△DFP和△EBP中，
∵，
∴△DFP≌△EBP（AAS）．
∴DP=PE．

（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．
∵D為AC中點(diǎn)，DF∥AB，
∴BF=BC=a．
∴BP=BF=a．
分析：（1）過點(diǎn)D作DF∥AB，構(gòu)造三角形全等，可證得△CDF為等邊三角形，得到DF=BE，可由AAS證得△DFP≌△EBP?DP=EP；
（2）若D為AC的中點(diǎn)，則DF是△ABC的中位線，有BF=BC=a，點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，得到BP=BF=a．
點(diǎn)評：本題利用了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．