Question

【題目】如圖所示，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），把點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)Q．

（1）寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________；

（2）若把點(diǎn)Q向右平移個單位長度，向下平移個單位長度后，得到的點(diǎn)落在第四象限，求的取值范圍；

（3）在（2）條件下，當(dāng)取何值，代數(shù)式取得最小值.

Answer 1

【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0

【解析】

(1)如圖，作PA⊥x軸于A，QB⊥x軸于B，則∠PAO=∠OBQ=90°，證明△OBQ≌△PAO(AAS)，從而可得OB=PA，QB=OA，繼而根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求得答案；

(2)利用點(diǎn)平移的規(guī)律表示出Q′點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a的不等式組，再解不等式即可；

(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得 ，繼而根據(jù)偶次方的非負(fù)性即可求得答案 .

(1)如圖，作PM⊥x軸于A，QN⊥x軸于B，則∠PAO=∠OBQ=90°，

∴∠P+∠POA=90°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠POQ=90°，OQ=OP，

∴∠QOB+∠POA=90°，

∴∠QOB=∠P，

∴△OBQ≌△PAO(AAS)，

∴OB=PA，QB=OA，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)，

∴OB=PA=3，QB=OA=1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-3，1)；

(2)把點(diǎn)Q(-3，1)向右平移a個單位長度，向下平移a個單位長度后，

得到的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-3+a，1-a)，

而M在第四象限，

所以，

解得a>3，

即a的范圍為a>3；

(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，

∴

，

∵，

∴當(dāng)a=4時，代數(shù)式的最小值為0.