Question

已知拋物線y＝x²＋(2n－1)x＋n²－1(n為常數(shù))．

(1)當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數(shù)關系式；

(2)設A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．

①當BC＝1時，求矩形ABCD的周長；

②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知條件，得n2－1＝0………………………………1分 　　解這個方程，得n1＝1，n2＝－1…………………2分 　　當n＝1時，得y＝x2＋x，此拋物線的頂點不在第四象限． 　　當n＝－1時，得y＝x2－3x，此拋物線的頂點在第四象限．………………4分 　　∴所求的函數(shù)關系為y＝x2－3x．………………5分 　　(2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 　　∴拋物線與x軸的另一個交點為(3，0) 　　∴它的頂點為(，)，對稱軸為直線x＝，其大致位置如圖所示，………………6分 　�、佟連C＝1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB＝×(3－1)＝1． 　　∴B(1，0)……7分 　　∴點A的橫坐標x＝1，又點A在拋物線y＝x2－3x上， 　　∴點A的縱坐標y＝12－3×1＝－2． 　　∴AB＝|y|＝|－2|＝2．……8分 　　∴矩形ABCD的周長為：2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6．…………9分 　　②∵點A在拋物線y＝x2－3x上，故可設A點的坐標為(x，x2－3x)，…………10分 　　∴B點的坐標為(x，0)．(0＜x＜) 　　∴BC＝3－2x，A在x軸下方， 　　∴x2－3x＜0， 　　∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2…………11分 　　∴矩形ABCD的周長 　　P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋…12分 　　∵a＝－2＜0， 　　∴當x＝時，矩形ABCD的周長P最大值為．………………13分 　　此時點A的坐標為A(，)．………………14分