Question

正方形ABCD的邊長為3，E，F(xiàn) 分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°．將
△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．

（1）求證：EF=FM；
（2）當AE=1時，求EF的長．

Answer 1

（1）見解析  （2）

（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴ F，C，M三點共線，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，
∴△DEF≌△DMF（SAS），∴ EF="MF."
（2）解：設EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.
∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB²+BF²=EF²，即2²+（4－x）²=x²，
解得：x=，即EF=.