Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA=3，OB=1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣1，4）．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）過點(diǎn)D作直線DE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、D兩點(diǎn)重合），PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)F、G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）；（2）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由見解析.

【解析】（1）根據(jù)OA，OB的長，可得答案；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得EG，EF的長，根據(jù)整式的加減，可得答案．

（1）由拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA=3，OB=1，得

A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），

把C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

a（0+3）（0﹣1）=3，

解得a=﹣1，

拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

過點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q，如圖，

設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），

則PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，

∵PQ∥EF，

∴△AEF∽△AQP，

∴，

∴EF==；

又∵PQ∥EG，

∴△BEG∽△BQP，

∴，

∴EG===2（t+3），

∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．