如圖,二次函數(shù)圖象的頂點為坐標原點O,且經過點A(3,3),一次函數(shù)的圖象經過點A和點B(6,0).
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)如果一次函數(shù)圖象與y相交于點C,點D在線段AC上,與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點E,∠CDO=∠OED,求點D的坐標.
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分析:(1)由于拋物線的頂點為原點,可設其解析式為:y=ax2,然后將A點坐標代入上式,即可確定該拋物線的解析式;已知了A、B的坐標,可利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式;
(2)設出點D的橫坐標,根據直線AB和拋物線的解析式,可得到D、E的縱坐標,進而可求得DE和OD2的表達式,由于DE∥y軸,且∠CDO=∠DEO,易證得△COD∽△ODE,得OD2=DE•OC,OC的長易求得,將DE、OD2的表達式代入上式,即可求得點D的坐標.
解答:解:(1)設二次函數(shù)解析式為y=ax2
∵點A(3,3)在二次函數(shù)圖象上,
∴3=9a,(1分)
∴a=
1
3

∴二次函數(shù)解析式為y=
1
3
x2
,(2分)
設一次函數(shù)解析式為y=kx+b,
∵一次函數(shù)的圖象經過點A和點B(6,0),
3=3k+b
0=6k+b
,(3分)
k=-1
b=6
;(4分)
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+6;(5分)

(2)∵DE∥y軸,
∴∠COD=∠ODE,
∵∠CDO=∠OED,
∴△CDO∽△OED,(6分)
DE
DO
=
DO
CO
,
∴DO2=DE•CO;(7分)
設點D的坐標為(m,-m+6),
∴點E的坐標為(m,
1
3
m2
),(8分)
∴OD2=m2+(m-6)2=2m2-12m+36,DE=-m+6-
1
3
m2
;(9分)
∵點C(0,6),
∴CO=6;
∴2m2-12m+36=6(-m+6-
1
3
m2
),(10分)
∴4m2-6m=0,
∴m1=0(不符題意,舍去),m2=
3
2
,(11分)
∴點D的坐標為(
3
2
9
2
).(12分)
點評:此題主要考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及相似三角形的判定和性質,(2)題中,能夠正確的找到與所求相關的相似三角形是解決問題的關鍵.
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已知:如圖,二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,-2),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中A點坐標為(3,0),B點在y軸上.點P為線精英家教網段AB上的一個動點(點P與點A、B不重合),過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設點P的橫坐標為x,求線段PE的長(用含x 的代數(shù)式表示);
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