Question

【題目】（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)D，B，C三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是⊙P的切線；

（3）若將△ADE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)E′會落在拋物線上嗎？請說明理由；

（4）若點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)，平面上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見試題解析；（3）不在；（4）N（﹣5，）或（3，）或（﹣3，）．

【解析】

試題分析：（1）先確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD的長，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用交點(diǎn)式求拋物線的解析式；

（2）先計算出CD=2OC=4，由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，則由AE=3BE得到AE=3，得出，加上∠DAE=∠DCB，得到△AED∽△COD，∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°，則∠CDO+∠ODE=90°，得到CD為⊙P的直徑，即可得到結(jié)論；

（3）由△AED∽△COD，得出DE的長，由∠CDE=90°，DE＞DC，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得E點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)E′在射線DC上，而點(diǎn)C、D在拋物線上，于是可判斷點(diǎn)E′不能在拋物線上；

（4）利用配方得到y(tǒng)=，則M（﹣1，），且B（﹣4，0），D（0，），由平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)平移的規(guī)律，利用分三種情況討論得到N點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵C（2，0），BC=6，∴B（﹣4，0），在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，∴OD=2tan60°=，∴D（0，），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣2），把D（0，）代入得a4（﹣2）=，解得a=，∴拋物線的解析式為=；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴，，∴，而∠DAE=∠DCB，∴△AED∽△COD，∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°，∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠DOC=90°，∴CD為⊙P的直徑，∴ED是⊙P的切線；

（3）E點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)E′不會落在拋物線上．理由如下：

∵△AED∽△COD，∴，即，解得DE=，∵∠CDE=90°，DE＞DC，∴△ADE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)E′在射線DC上，而點(diǎn)C、D在拋物線上，∴點(diǎn)E′不能在拋物線上；

（4）存在．∵y==，∴M（﹣1，），而B（﹣4，0），D（0，），如圖2，當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對角線時，點(diǎn)D向左平移4個單位，再向下平移個單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)M（﹣1，）向左平移4個單位，再向下平移個單位得到點(diǎn)N1（﹣5，）；

當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對角線時，點(diǎn)B向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點(diǎn)M，則點(diǎn)D（0，）向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點(diǎn)N2（3，）；

當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對角線時，點(diǎn)M向左平移3個單位，再向下平移個單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)D（0，）向右平移3個單位，再向下平移個單位得到點(diǎn)N3（﹣3，），

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣5，）、（3，）、（﹣3，）．