Question

【題目】已知，如圖拋物線(xiàn)y＝ax2＋3ax＋c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A， B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，OC＝3OB.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)D是線(xiàn)段AC下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D做x軸的垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)E,求線(xiàn)段DE的最大值.

（3）若點(diǎn)D是線(xiàn)段AC下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x－3；（2）3；（3）四邊形ABCD面積有最大值.

【解析】試題分析：（1）已知了B點(diǎn)坐標(biāo)，易求得OB、OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中，求出待定系數(shù)的值，即可得出拋物線(xiàn)的解析式．

（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線(xiàn)AC的解析式．可過(guò)D作x軸的垂線(xiàn)，交AC于E，x軸于F；易得△ADC的面積是DE與OA積的一半，可設(shè)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出DE的長(zhǎng)；

（3）由四邊形ABCD的面積與F點(diǎn)橫坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的最大面積；由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大.

試題解析：（1）∵B(1，0)，

∴OB=1；

∵OC=3BO，

∴C(0,3)；

∵y=ax2+3ax+c過(guò)B(1,0)、C(0,3)，

∴；

解這個(gè)方程組，得，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2＋x－3；

（2）如圖：

∵A(－4，0)，C(0，－3)，

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx＋b，

代入求得：y＝－x－3，

令D（x， x2＋x－3），E（x，－ x－3），

則DE＝－x－3－x2＋x－3＝－ (x＋2)2＋3.

∴當(dāng)x＝－2時(shí)，DE有最大值3；

（3）S四邊形span>ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋·DE·(AF＋OF)＝＋2DE，

∴當(dāng)DE取最大值3時(shí)，四邊形ABCD面積有最大值.