Question

【題目】探究與發(fā)現(xiàn)：

如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī)．我們不妨把這種圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？請(qǐng)解決以下問題：

(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BPC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：

①如圖2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接寫出∠BPC與∠A之間存在的等量關(guān)系為： ．

遷移運(yùn)用：如圖3：在△ABC中，∠A=80°，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是∠BOC，∠OCB角平分線的交點(diǎn)，若∠OPC=100°，則∠ACB的度數(shù) ．

②如圖4：若D點(diǎn)是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接寫出∠BDC、∠BPC、∠A之間存在的等量關(guān)系為 ．

Answer 1

【答案】(1)∠BPC=∠A+∠B+∠C，理由見解析；(2)①∠BPC=90°+∠A，60°；②2∠BPC=∠BDC+∠A．

【解析】

（1）首先連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BPC=∠A+∠B+∠C；

（2）①利用角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理證明即可；

遷移運(yùn)用：設(shè)∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°，推出x+y=80°，推出2x+2y=160°，推出∠OBC=180°-160°=20°，可得∠ABC=40°，由此即可解決問題；

②根據(jù)角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

(1)如圖，連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，

根據(jù)外角的性質(zhì)，可得

∠BPF=∠BAP+∠B，∠CPF=∠C+∠CAP，

又∵∠BPC=∠BPF+∠CPF，∠BAC=∠BAP+∠CAP，

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C；

(2)①結(jié)論：∠BPC=90°+∠A．

理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A；

遷移運(yùn)用：設(shè)∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，

∵∠P=100°，

∴x+y=80°，

∴2x+2y=160°，

∴∠OBC=180°-160°=20°，

∵BO平分∠ABC，

∴∠ABC=40°，

∵∠A=80°，

∴∠ACB=180°-40°-80°=60°；

故答案為：∠BPC=90°+∠A，60°；

②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，

∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP，

四邊形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°-∠D=360°，

∴∠ABD+∠ACD=∠D-∠P，

在四邊形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°-∠P=360°，

∴∠A+∠D-∠P-∠P=0，

∴2∠BPC=∠BDC+∠A．

故答案為：2∠BPC=∠BDC+∠A．