Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)在上，且．動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，均以的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作分交于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）求的長(用含的代數(shù)式表示)；

（2）以點(diǎn)為頂點(diǎn)圈成的圍形面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）連接若點(diǎn)為中點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）；（3）

【解析】

（1）直接根據(jù)題意可判斷DQ的長度；

（2）需要分3種情況分析，一種是當(dāng)時(shí)，此段點(diǎn)Q在點(diǎn)D的右側(cè)；第二種是當(dāng)時(shí)，此段點(diǎn)Q在點(diǎn)D左側(cè)，點(diǎn)P還未到達(dá)點(diǎn)A；第三段是當(dāng)時(shí)，此段點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A處，點(diǎn)Q在DB上運(yùn)動(dòng)；

（3）需要分2段考慮，一段是時(shí)，此段，點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)；第二段是時(shí)，此段，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A處，點(diǎn)Q在DB上運(yùn)動(dòng)．

（1）根據(jù)題意：

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

（2）當(dāng)時(shí)，如下圖：

當(dāng)時(shí)，如下圖：

當(dāng)時(shí)，如下圖：

綜上所述

（3）如下圖，在BC上取點(diǎn)G，使得GC=4，取AG、AB的中點(diǎn)為T、N，連接CM，TN

當(dāng)0≤t≤4時(shí)

點(diǎn)P在CA上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在CG上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G處

∵點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)

∴在此段運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為CT

∵AC=CG=4，∠ACG=90°，點(diǎn)T是AG的中點(diǎn)

∴CT=2

b.當(dāng)4＜t≤5時(shí)

點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A處，點(diǎn)Q在GB上運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)點(diǎn)B

∵點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)

∴當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N處，即AB的中點(diǎn)

故在此段運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為TN

∵點(diǎn)T、N分別時(shí)AG、AB的中點(diǎn)

∴TN是△ABG的中位線

∵BC=5，CG=4

∴GB=1

∴TN=

∴點(diǎn)M在整個(gè)過程中的路程為：2