Question

如圖，在△PAB中，點C、D在邊AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°．

(1)試說明△APC與△PBD相似．

(2)若CD＝1，AC＝x，BD＝y(tǒng)，請你求出y與x之間的函數(shù)關系式．

(3)小明猜想：若PC＝PD＝1，∠CPD＝α，∠APB＝β，只要α與β之間滿足某種關系式，問題(2)中的函數(shù)關系式仍然成立．你同意小明的觀點嗎？如果你同意，請求出α與β所滿足的關系式；若不同意，請說明理曲．

 

 

Answer 1

（1）說明見解析

（2）

（３）同意，2β-α=180°

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)PC=PD=CD，得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，則∠ACP=∠BDP=120°，可證明∠A=∠BPD，從而證得△APC與△PBD；

（2）由（1）得 ，則 ，從而得出y與x的函數(shù)關系式；

（3）根據(jù)題意仍可得出（2）中的函數(shù)關系式，則同意這種說法．

試題解析：（1）∵PC=PD=CD，

∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，

∴∠ACP=∠BDP=120°，

∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，

∴∠A=∠BPD

∴△APC∽△PBD

由（１）得△APC∽△PBD，，

∴，即

（３）同意，2β-α=180°

考點：相似三角形的判定與性質