Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF、CE和EF，設(shè)EF與AC的交點為O．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=2

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cm，△ABF的為面積12cm²，求△ABF的周長．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)知：EF⊥AO，然后可通過證△AOE≌△COF來得到AE=CF，從而根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形AECF是平行四邊形進(jìn)而利用AC⊥EF，得出四邊形AECF是菱形．
（2）由（1）的結(jié)論易求得AE=AF=2

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cm，因此只需求得AB+BF即可求得△ABF的周長，可設(shè)AB=x、BF=y，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理和△ABF的面積即可求得x+y的值，由此得解．

解答：（1）證明：由題意可知OA=OC，EF⊥AC，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）解：四邊形AFCE是菱形，∴AF=AE=2

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；（4分）
設(shè)AB=x，BF=y，∵∠B=90°，
∴在直角三角形ABF中，根據(jù)勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即x²+y²=52（5分）
又∵S_△ABF=12，∴

1

2

xy=12，則xy=24；（6分）
∴（x+y）²=100，
∴x+y=10或x+y=-10（不合題意，舍去）；（7分）
∴△ABF的周長為10+2

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．（8分）

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定以及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，（2）題在求三角形周長時，要注意整體思想的運用．