Question

（2013•本溪一模）如圖所示，正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，并保證其一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q，若

AP

AB

=

1

2

時(shí)，則

AQ

BC

=

1

4

；若

AP

AB

=

1

n

時(shí)，則

AQ

BC

=

n-1

n2

．

Answer 1

分析：由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=90°，BC=AB，設(shè)AP=k．
（1）若

AP

AB

=

1

2

，則BC=AB=2k，BP=k．先由同角的余角相等得出∠AQP=∠BPC，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得到△AQP∽△BPC，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

AQ

BP

=

AP

BC

=

1

2

，則AQ=

1

2

k，進(jìn)而求出

AQ

BC

的值；
（2）若

AP

AB

=

1

n

，則BC=AB=nk，BP=（n-1）k．先由同角的余角相等得出∠AQP=∠BPC，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得到△AQP∽△BPC，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

AQ

BP

=

AP

BC

=

1

n

，則AQ=

n-1

n

k，進(jìn)而求出

AQ

BC

的值．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，BC=AB．
設(shè)AP=k．
（1）∵

AP

AB

=

1

2

，
∴BC=AB=2k，BP=k．
在△AQP與△BPC中，

∠AQP=∠BPC=90°-∠APQ ∠A=∠B

，
∴△AQP∽△BPC，
∴

AQ

BP

=

AP

BC

=

1

2

，
∴AQ=

1

2

k，
∴

AQ

BC

=

1 2 k

2k

=

1

4

；

（2）∵

AP

AB

=

1

n

，
∴BC=AB=nk，BP=（n-1）k．
在△AQP與△BPC中，

∠AQP=∠BPC=90°-∠APQ ∠A=∠B

，
∴△AQP∽△BPC，
∴

AQ

BP

=

AP

BC

=

1

n

，
∴AQ=

n-1

n

k，
∴

AQ

BC

=

n-1 n k

nk

=

n-1

n2

．
故答案為

1

4

；

n-1

n2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．證明出△AQP∽△BPC是解題的關(guān)鍵．