Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，以線段AB為邊作菱形ABCD（點(diǎn)C、D在第一象限），且點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9．

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求直線DC的解析式；

（3）除點(diǎn)C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否還存在點(diǎn)P，使點(diǎn)A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A（0，4）；點(diǎn)B（，0）．（2）直線DC的解析式為．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣5）或（﹣，13）．

【解析】（1）分別令一次函數(shù)中x=0、y=0，求出與之對(duì)應(yīng)的y、x的值，由此即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，由點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9即可得出AE的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=AD，結(jié)合勾股定理即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由DC∥AB可設(shè)直線DC的解析式為，代入點(diǎn)D的坐標(biāo)求出b值即可得出結(jié)論；

（3）假設(shè)存在，點(diǎn)C時(shí)以BD為對(duì)角線找出的點(diǎn)，再分別以AB、AD為對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）結(jié)合點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）令中x=0，則y=4，

∴點(diǎn)A（0，4）；

令中y=0，則﹣x+4=0，解得：x=2，

∴點(diǎn)B（2，0）．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，如圖1所示．

∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9，OA=4，

∴AE=5．

∵四邊形是ABCD是菱形，

∴AD=AB=，

∴DE==，

∴D（，9）．

∵四邊形是ABCD是菱形，

∴DC∥AB，

∴設(shè)直線DC的解析式為，

∵直線DC過(guò)點(diǎn)D（，9），

∴b=11，

∴直線DC的解析式為．

（3）假設(shè)存在．

以點(diǎn)A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形還有兩種情況（如圖2）：

①以AB為對(duì)角線時(shí)，

∵A（0，4），B（2，0），D（，9），

∴點(diǎn)P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；

②以AD為對(duì)角線時(shí)，

∵A（0，4），B（2，0），D（，9），

∴點(diǎn)P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．

故除點(diǎn)C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中還存在點(diǎn)P，使點(diǎn)A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣5）或（﹣，13）．

“點(diǎn)睛”本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析，解題的關(guān)鍵是：（1）分別代入x=0，y=0，求出與之對(duì)應(yīng)的y、x的值；（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）分別以AB、AD為對(duì)角線求出點(diǎn)P的坐標(biāo).本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分），結(jié)合三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求出另一頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵.