Question

（2012•金平區(qū)模擬）如圖，半圓O的直徑AB=10，弦AC=8，過A作直線PQ，若∠PAC=∠ABC．
（1）求證：PQ是半圓O的切線；
（2）若點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，N從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AP方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到A即停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①設(shè)△AMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時(shí)，△AMN的面積最大，最大值是多少？
②當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

分析：（1）欲證PQ是半圓O的切線，只需證明PQ⊥AB即可；
（2）①如圖1，作ND⊥AC，垂足為D，構(gòu)建相似三角形△NAD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例知

ND

AC

=

NA

AB

，由此可以求得ND=

4

5

t；然后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；最后根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求，△AMN的面積的最大值；
②需要分類討論：求當(dāng)AN為底、AM為底、MN為底三種情況下的時(shí)間t的值．

解答：（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），
∵∠PAC=∠ABC（已知），
∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=90°（等量代換），
∴PQ⊥AB，
∴PQ是半圓O的切線；

（2）解：①如圖1，作ND⊥AC，垂足為D，則∠ADN=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴∠ADN=∠ACB（等量代換）；
∵∠PAC=∠ABC，即∠NAD=∠ABC，
∴△NAD∽△ABC，
∴

ND

AC

=

NA

AB

（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），
∵AB=10，AC=8，AN=CM=t，
∴

ND

8

=

t

10

，
∴ND=

4

5

t，
∴S=

1

2

×AM×ND=

1

2

×(8-t)×

4

5

t=-

2

5

t2+

16

5

t=-

2

5

(t-4)2+

32

5

，
∴當(dāng)t=4時(shí)，△AMN的面積最大，最大值是

32

5

；                     

②在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
∴cos∠CBA=

BC

AB

=

3

5

；
如圖2，若MN=MA，作ME⊥AP，垂足為E，∴AE=

1

2

AN=

1

2

t，
在Rt△AEN中，cos∠MAE=

AE

AM

=cos∠CBA=

3

5

，
∴

1 2 t

8-t

=

3

5

，
∴t=

48

11

；
如圖3，若AN=NM，作NF⊥AC，垂足為F，則AF=

1

2

×AM=

1

2

×(8-t)=4-

1

2

t，
在Rt△AFN中，cos∠NAF=

AF

AN

=cos∠CBA=

3

5

，
∴

4- 1 2 t

t

=

3

5

，
∴t=

40

11

，
若AN=AM，有t=8-t，則t=4；       
故當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，t的值為

40

11

、4或

48

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：圓周角定理（直徑所對(duì)的圓周角是直角）、勾股定理、三角形的面積公式、二次函數(shù)的最值的求法以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．注意：在解答（2）②題時(shí)，需要對(duì)等腰△AMN的底邊進(jìn)行分類討論，以防漏解．