Question

【題目】如圖，在△ABC中，AE為∠BAC的角平分線，點D為BC的中點，DE⊥BC交AE于點E，EG⊥AC于點G．

（1）求證： AB+AC=2AG．

（2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）18cm

【解析】

(1)連接BE、EC,只要證明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG,再證明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根據(jù)線段和差定義即可解決.

（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周長.

(1)延長AB至點M，過點E作EF⊥BM于點F

∵AE平分∠BAC

EG⊥AC于點G

∴EG=EF,∠EFB=∠EGC=90°

連接BE，EC

∵點D是BC的中點，DE⊥BC

∴BE=EC

在Rt△BFE與Rt△CGE中

∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）

∴BF=GC

∵AB+AC=AB+AG+GC

∴AB+AC =AB+BF+AG

=AF+AG

在Rt△AFE與Rt△AGE中

∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL）

∴AF=AG

∴AB+AC=2AG

(2)∵AG=5cm, AB+AC=2AG

∴AB+AC=10cm

又∵BC=8cm

∴△ABC的周長為AB+AC+BC=8+10=18cm．