Question

【題目】已知：如圖1，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），根據(jù)對(duì)稱(chēng)性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AMB為直角三角形時(shí)，就稱(chēng)△AMB為該拋物線(xiàn)的“完美三角形”．

（1）①如圖2，求出拋物線(xiàn)的“完美三角形”斜邊AB的長(zhǎng)；

②拋物線(xiàn)與的“完美三角形”的斜邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）若拋物線(xiàn)的“完美三角形”的斜邊長(zhǎng)為4，求a的值；

（3）若拋物線(xiàn)的“完美三角形”斜邊長(zhǎng)為n，且的最大值為-1，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）AB=2；相等；（2）a=±；（3），∴．

【解析】

試題（1）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于N，由題意可知△AMB為等腰直角三角形，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，－n），根據(jù)二次函數(shù)得出n的值，然后得出AB的值；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)相同得出拋物線(xiàn)的完美三角形全等，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出a的值；根據(jù)最大值得出mn－4m－1=0，根據(jù)拋物線(xiàn)的完美三角形的斜邊長(zhǎng)為n得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)求出m和n的值.

試題解析：（1）①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于N，由題意可知△AMB為等腰直角三角形，AB∥x軸，

易證MN=BN，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-n），代入拋物線(xiàn)，得，

∴，（舍去），∴拋物線(xiàn)的“完美三角形”的斜邊

②相等；

（2）∵拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)的形狀相同，

∴拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)的“完美三角形”全等，

∵拋物線(xiàn)的“完美三角形”斜邊的長(zhǎng)為4，∴拋物線(xiàn)的“完美三角形”斜邊的長(zhǎng)為4，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2），∴．

（3）∵的最大值為-1，∴，

∴，∵拋物線(xiàn)的“完美三角形”斜邊長(zhǎng)為n，

∴拋物線(xiàn)的“完美三角形”斜邊長(zhǎng)為n，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴代入拋物線(xiàn)，得，∴（不合題意舍去），

∴，∴