Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值為4，且拋物線過(guò)點(diǎn)（ ，﹣ ），點(diǎn)P（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)Q（0，2t）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2﹣2ax+c的對(duì)稱(chēng)軸為：x=﹣ =1，

∴拋物線過(guò)（1，4）和（ ，﹣ ）兩點(diǎn)，

代入解析式得： ，

解得：a=﹣1，c=3，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）

解：∵C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）、（1，4）；

由三角形兩邊之差小于第三邊可知：

|PC﹣PD|≤|CD|，

∴P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)|PC﹣PD|取得最大值，此時(shí)最大值為，

|CD|= ，

由于CD所在的直線解析式為y=x+3，

將P（t，0）代入得t=﹣3，

∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P為（﹣3，0）

（3）

解：y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化為：

y=

設(shè)線段PQ所在的直線解析式為y=kx+b，將P（t，0），Q（0，2t）代入得：

線段PQ所在的直線解析式：y=﹣2x+2t，

∴①當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，線段PQ與函數(shù)

y= 有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t= ，

當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，t=3，此時(shí)線段PQ與

y= 有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng) ≤t＜3時(shí)，

線段PQ與y= 有一個(gè)公共點(diǎn)，

②將y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：

﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，

﹣x2+4x+3﹣2t=0，

令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，

t= ＞0，

所以當(dāng)t= 時(shí)，線段PQ與y= 也有一個(gè)公共點(diǎn)，

③當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（﹣3，0）重合時(shí)，線段PQ只與

y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=﹣3，

所以當(dāng)t≤﹣3時(shí)，線段PQ與y= 也有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上所述，t的取值是 ≤t＜3或t= 或t≤﹣3．

【解析】（1）先利用對(duì)稱(chēng)軸公式x=﹣ 計(jì)算對(duì)稱(chēng)軸，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），再將兩點(diǎn)代入列二元一次方程組求出解析式；
　　　�。�2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：可知P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)|PC﹣PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
　　　�。�3）先把函數(shù)中的絕對(duì)值化去，可知y= ，此函數(shù)是兩個(gè)二次函數(shù)的一部分，分三種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn)，寫(xiě)出t的取值；②線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c（x≥0）時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求t的值；③當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（﹣3，0）重合時(shí)，線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c（x＜0）時(shí)也有一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)t≤﹣3時(shí)，都滿(mǎn)足條件；綜合以上結(jié)論，得出t的取值．本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先利用待定系數(shù)法求解析式，同時(shí)把最大值與三角形的三邊關(guān)系聯(lián)系在一起；同時(shí)對(duì)于二次函數(shù)利用動(dòng)點(diǎn)求取值問(wèn)題，從特殊點(diǎn)入手，把函數(shù)分成幾部分考慮，按自變量從大到小的順序或從小到大的順序求解．