Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=2x2+4x+m﹣1，與x軸的公共點為A，B．
（1）如果A與B重合，求m的值；
（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點； ①當(dāng)m=1時，求線段AB上整點的個數(shù)；
②若設(shè)拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)為n，當(dāng)1＜n＜8時，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A與B重合，

∴二次函數(shù)y=2x2+4x+m﹣1的圖象與x軸只有一個公共點，

∴方程2x2+4x+m﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根，

∴△=42﹣4×2（m﹣1）=24﹣8m=0，

解得：m=3．

∴如果A與B重合，m的值為3．

（2）解：①當(dāng)m=1時，原二次函數(shù)為y=2x2+4x+m﹣1=2x2+4x，

令y=2x2+4x=0，則x1=0，x2=﹣2，

∴線段AB上的整點有（﹣2，0）、（﹣1，0）和（0，0）．

故當(dāng)m=1時，線段AB上整點的個數(shù)有3個．

②由點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）可用以下不等式表示

如圖，

對于二次函數(shù)y=2x2+4x+m﹣1，可知對稱軸x=﹣1，

∵拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)為n，且1＜n＜8，

∴x=0時，y≤0；x=3時，y＞0；

則有 ，

解得：﹣29＜m≤1．

【解析】（1）當(dāng)A、B重合時，拋物線與x軸只有一個交點，此時△=0，從可求出m的值．（2）①m=1代入拋物線解析式，然后求出該拋物線與x軸的兩個交點的坐標(biāo)，從而可求出線段AB上的整點；②根據(jù)二次函數(shù)表達式可以用帶m表達出兩根之差，根據(jù)1＜兩根之差＜8，即可解題．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．