Question

【題目】長方形OABC，O為平面直角坐標系的原點，OA＝5，OC＝3，點B在第三象限．

（1）求點B的坐標；

（2）如圖1，若過點B的直線BP與長方形OABC的邊交于點P，且將長方形OABC的面積分為1:4兩部分，求點P的坐標；

（3）如圖2，M為x軸負半軸上一點，且∠CBM＝∠CMB，N是x軸正半軸上一動點，∠MCN的平分線CD交BM的延長線于點D，在點N運動的過程中，的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（－5，－3）；（2）點P的坐標為（－3,0）或（0,－）；（3），理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件易得點B的坐標為（-5，-3）；

（2）根據(jù)題意分點P在邊OA上和點P在邊OC上兩種情況結合已知條件進行分析解答即可；

（3）如圖3，延長BC至點F，過點M作ME∥CD交BC于點E，結合已知條件可得∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC=∠MCF-∠NCM，在結合∠CNM＝∠NCF＝∠MCF－∠NCM即可得到∠CNM=2∠D，由此即可得到＝.

（1）∵四邊形OABC為長方形，OA＝5，OB＝3，且點B在第三象限，

∴B（－5，－3），

（2）若過點B的直線BP與邊OA交于點P，依題意可知：×AB×AP＝×OA×OC，

即×3×AP＝×5×3，∴AP＝2，

∵OA＝5，

∴OP＝3，

∴P（－3,0）.

若過點B的直線BP與邊OC交于點P，依題意可知：×BC×PC＝×OA×OC，

即×5×PC＝×5×3，∴PC＝ ∵OC＝3，∴OP＝，∴P（0,－）.

綜上所述，點P的坐標為（－3,0）或（0,－）.

（3）如圖3，延長BC至點F，過點M作ME∥CD交BC于點E，

∵四邊形OABC為長方形，

∴OA∥BC.

∴∠CBM＝∠AMB，∠AMC＝∠MCF.

∵∠CBM＝∠CMB，∠MCF=∠CBM+∠CMB，

∴∠CMB=∠MCF，

∵ME∥CD，

∴∠EMC＝∠MCD.

又∵CD平分∠MCN，

∴∠EMC=∠NCM，

∴∠D＝∠BME＝∠CMB－∠EMC=∠MCF-∠NCM，

又∵∠CNM＝∠NCF＝∠MCF－∠NCM，

∴∠CNM=2∠D，

∴＝.