Question

已知兩函數：反比例函數y=

k

x

(k為常數，且k≠0)和二次函數y=

1

4

x²+x+a．
（1）若兩個函數的圖象都經過點（2，2）．
①求兩函數的表達式；
②證明反比例函數的圖象經過二次函數圖象的頂點．
（2）若二次函數y=

1

4

x²+x+a的圖象與x軸有兩個不同的交點，是否存在實數a，使方程

1

4

x²+x+a=0的兩個實數根的倒數和等于-1？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）①把x=2，y=2分別代入兩個函數的表達式，就能求出k和a的值，即可得到兩函數的表達式；②先求出二次函數圖象的頂點坐標，把頂點坐標代入反比例函數的解析式，看兩邊是否相等即可；
（2）不存在符合條件的a的值，理由是先根據根的判別式求出a的范圍，設方程

1

4

x²+x+a=0的兩根分別為x₁、x₂，根據根與系數關系有：x₁+x₂=-4，x₁•x₂=4a，求出

1

x1

+

1

x2

的值即可求出a=1，與求出的a的取值范圍a＜1不符，即可判斷答案．

解答：（1）①解：根據題意，把x=2，y=2分別代入兩個函數的表達式，
由2=

k

2

得k=4，
所以反比例函數為y=

4

x

，
由2=1+2+a得a=-1，
所以二次函數為y=

1

4

x²+x-1，
答：兩函數的表達式分別是y=

4

x

，y=

1

4

x²+x-1．

②證明：由y=

1

4

x²+x-1=

1

4

(x+2)2-2知，
二次函數圖象的頂點坐標為（-2，-2），
又當x=-2時，y=

4

-2

=-2，
所以反比例函數的圖象經過二次函數圖象的頂點．

（2）解：不存在符合條件的a的值，
理由：根據題意，由△=1-4×

1

4

a＞0得a＜1，
∴a的取值范圍是a＜1，
設方程

1

4

x²+x+a=0的兩根分別為x₁、x₂，
由根與系數關系有：
x₁+x₂=-4，x₁•x₂=4a，
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

-4

4a

=-

1

a

，
由-

1

a

=-1，
得a=1這與a＜1不符，
∴不存在符合條件的a的值．
答：不存在

點評：本題主要考查對二次函數的性質，解一元一次方程，根的判別式，根與系數的關系，用待定系數法求反比例函數、二次函數的解析式等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強．