把兩個(gè)全等的等腰Rt△AOB和等腰Rt△DCE(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖1),且使等腰Rt△DCE的直角頂點(diǎn)C與等腰Rt△AOB的斜邊中點(diǎn)C重合.現(xiàn)將等腰Rt△DCE繞C點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角a滿足條件:0°<a<90°),四邊形CPOQ是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖2).
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(1)在圖1中,求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(
 
 
),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
 
,
 
),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(
 
 
);
(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,CP與CQ有怎樣的數(shù)量關(guān)系?四邊形CPOQ的面積有何變化?證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的前提下,BQ的長度是多少時(shí),△CPQ的面積恰好等于△AOB面積的
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分析:(1)已知了等腰直角三角形的直角邊長,即可得到A、B的坐標(biāo);由于C是AB的中點(diǎn),即可求得C點(diǎn)坐標(biāo).由圖易知:C、D,C、E分別關(guān)于y、x軸對稱,即可得解.
(2)此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解;過C分別作x軸、y軸的垂線,設(shè)垂足為M、N;易證得△CPN≌△CQM,即可得CP=CQ,△CPN、△CQM的面積相等,那么四邊形CPOQ的面積,即可轉(zhuǎn)換為正方形CNOM的面積,由此得解.
(3)設(shè)出BQ的長,然后表現(xiàn)出QM的值,即可利用勾股定理求得CQ2的表達(dá)式,而△CPQ是等腰直角三角形,那么它的面積為CQ2的一半,根據(jù)△AOB的面積可求得△CPQ的面積,即可列出關(guān)于BQ長的方程,從而求得BQ的值.
解答:解:(1)由題意知:OA=OB=4,即A(0,4),B(4,0);
由于C是AB中點(diǎn),則C(2,2);
由圖易知:D、C關(guān)于y軸對稱,即D(-2,2),同理得:E(2,-2);
C(2,2)、D(-2,2)、E(2,-2).

(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,CP=CQ,四邊形CPOQ的面積不變,面積為4,是一個(gè)定值,
在旋轉(zhuǎn)過程中其大小始終不變:過點(diǎn)C分別作CM⊥x軸于M點(diǎn),CN⊥y軸于N點(diǎn),則CM=CN.
在△CNP與△CMQ中,CM=CN,∠CNP=∠CMQ=90°,
∴∠NCP=∠NCM-∠PCM=90°-∠PCM=∠MCQ,
所以CP=CQ,△CNP與△CMQ的面積相等,
則四邊形CPOQ的面積就是正方形CNOP的面積,
所以四邊形CPOQ的面積=2×2=4.
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(3)設(shè)BQ=a,則MQ=2-a,
在Rt△CMQ中,CQ2=CM2+MQ2=4+(2-a)2,
連接PQ,過C作CH⊥PQ,
∵CP=CQ,∠PCQ=90°,
∴△PCQ為等腰直角三角形,
∴H為PQ中點(diǎn),
∴CH=HQ,∠CHQ=90°,即△CHQ為等腰直角三角形,
∴CH=HQ=
2
2
CQ,即CQ=
2
CH=
2
HQ,
∴△CPQ的面積S=
1
2
PQ•CH=
1
2
×2×
2
2
CQ×
2
2
CQ=
1
2
CQ2=
1
2
(4+(2-a)2)=
5
16
×8,
解得a=1或3,
當(dāng)BQ=1或3時(shí),△CPQ的面積均等于△AOB的面積的
5
16
點(diǎn)評:此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的計(jì)算方法,(2)題中,正確地構(gòu)造出全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•臨汾二模)操作與證明
把兩個(gè)全等的含45°角的三角板按如圖所示的位置放置,使B、A、D在一條直線上,C、A、E在一條直線上,過點(diǎn)C作CM⊥BD于M,過點(diǎn)E作EF∥BD;直線CM與EF相交于點(diǎn)F.
(1)求證:△CEF是等腰直角三角形.
猜想與發(fā)現(xiàn)
(2)在圖1的條件下,CF與BD的數(shù)量關(guān)系為
CF=
1
2
BD
CF=
1
2
BD

(3)如圖2若把圖1中Rt△ADE換為Rt△ABC不全等但相似的三角板時(shí),其他條件不變,此時(shí)CF與BD的數(shù)量關(guān)系為
CF=
1
2
BD
CF=
1
2
BD

拓展與探究
(4)如圖3若將圖1中的兩塊三角板換成任意兩個(gè)全等的直角三角形(Rt△ABC≌Rt△DAE),使銳角頂點(diǎn)A重合,點(diǎn)C、A、E在一條直線上,連接BD交AC于G,過點(diǎn)C作CM⊥BD于M,過點(diǎn)E作EF∥BD,直線CM與EF于點(diǎn)F,圖1中CF與BD的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明你的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•衢州)如圖,把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中,使直角邊OB、OD在x軸上.已知點(diǎn)A(1,2),過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段OC上一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上,且不與點(diǎn)C重合),△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S.試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中,使直角邊OB、OD在x軸上.已知點(diǎn)A(1,2),過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段OC上一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上,且不與點(diǎn)C重合),△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S.試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

把兩個(gè)全等的等腰Rt△AOB和等腰Rt△DCE(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖1),且使等腰Rt△DCE的直角頂點(diǎn)C與等腰Rt△AOB的斜邊中點(diǎn)C重合.現(xiàn)將等腰Rt△DCE繞C點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角a滿足條件:0°<a<90°),四邊形CPOQ是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖2).

(1)在圖1中,求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(______,______),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(______,______),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(______,______);
(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,CP與CQ有怎樣的數(shù)量關(guān)系?四邊形CPOQ的面積有何變化?證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的前提下,BQ的長度是多少時(shí),△CPQ的面積恰好等于△AOB面積的數(shù)學(xué)公式

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