Question

22、已知一次函數y₁=2x和二次函數y₂=2x²-2x+2；
（1）證明對任意實數x，都有y₁≤y₂；
（2）求二次函數y₃，其圖象過點（-1，2），且對任意實數x，都有y₁≤y₃≤y₂．

Answer 1

分析：（1）小題只要求出y₂-y₁的值判斷出正負即可；（2）小題先判斷當x=1時，y₁和y₃的大小，設y₃-y₁=m（x-1）²，把x=-1代入即可求出y₃．

解答：解：（1）y₂-y₁，=（2x²-2x+2）-2x，
=2（x-1）²≥0，
所以y₁≤y₂；
（2）由于當且僅當x=1時，y₁=y₂，
所以當且僅當x=1時，y₁=y₃，
設y₃-y₁=m（x-1）²，
而y₁≤y₃≤y₂，
所以0＜m＜2，
當x=-1時，y₃=2，y₁=-2，
所以4=4m，
解得：m=1；
故二次函數y₃的解析式為：y₃=（x-1）²+2x=x²+1．
故答案為：y₃=x²+1．

點評：本題主要考查了二次函數的性質，能根據題意，巧妙的利用性質進行解題是解此題的關鍵