Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求b、c．

（2）如圖1，在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得三角形BCD的面積最大？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，求出三角形BCD的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．問在直線BC下方的拋物線上是否存在否存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）（，），；（3）Q1（，），Q2（，-）

【解析】

試題分析：（1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入y=-x2+bx+c，即可求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，根據(jù)=-t2+t，再利用配方法即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD面積的最大值；

（3）設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，求出過點(diǎn)E與BC平行的直線EQ解析式為y=﹣x+1，解方程組，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖1，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，

則=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3

=﹣t2+t

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)t=時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)是（，），△BCD面積的最大值是；

（3）如圖2，設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．

∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），

∴PM=ME=2，BM為△BPE的中線，

∴．

過E作BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，則，

∴．

∵E（1，0），直線BC的解析式為y=﹣x+3，EQ∥BC，

∴直線EQ的解析式為y=﹣x+1．

由，

解得，或，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（，），Q2（，﹣），

∴在直線BC下方的拋物線上存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（，），Q2（，﹣）．