Question

【題目】如圖，拋物線：y＝ax2＋bx＋4與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)和B(4，0)、與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)T是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M、Q分別從點(diǎn)A、B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行．當(dāng)點(diǎn)M原點(diǎn)時，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點(diǎn)B方向移動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線的對稱軸時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．過點(diǎn)M的直線l⊥軸，交AC或BC于點(diǎn)P．求點(diǎn)M的運(yùn)動時間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=x2+x+4；

（2）點(diǎn)T的坐標(biāo)是(1，1)；

(3)點(diǎn)M的運(yùn)動時間t與△APQ面積S的函數(shù)關(guān)系式是S=t2+6t(0<t2),S=t2+4t+3(2<t3),S的最大值是.

【解析】試題分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；（2）設(shè)直線x=1上一點(diǎn)T（1，h），連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，根據(jù)TA=TC由勾股定理求出即可；（3）（I）當(dāng)0<t≤2時，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；（II）當(dāng)2<t≤3時，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點(diǎn)F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可．

試題解析：(1)把A(2，0)，B(4，0)代入y=ax2+bx+4得：

，

解得：a=，b=1，

∴拋物線的解析式是：y=x2+x+4，

答：拋物線的解析式是y=x2+x+4.

(2)由y=x2+x+4= (x1)2+，得拋物線的對稱軸為直線x=1，

直線x=1交x軸于點(diǎn)D，直線x=1上一點(diǎn)T(1，h)，

連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，

由C(0，4)得點(diǎn)E(1，4)，

在Rt△ADT和Rt△TEC中,由TA=TC得32+h2=12+(4h)2，

∴h=1，

∴T的坐標(biāo)是(1，1)，

答：點(diǎn)T的坐標(biāo)是(1，1).

(3)(I)當(dāng)0<t2時，△AMP∽△AOC，

∴，PM=2t，

AQ=6t，

∴S=PMAQ=×2t(6t)=t2+6t=(t3)2+9，

當(dāng)t=2時S的最大值為8；

(II)當(dāng)2<t3時，

作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點(diǎn)F，

則△COB∽△CFP，

又∵CO=OB，

∴FP=FC=t2，PM=4(t2)=6t，AQ=4+32(t2)=32t+1，

∴S=PMAQ= (6t)( t+1)= t2+4t+3= (t)2+，

當(dāng)t=時,S最大值為，

綜合(I)(II)S的最大值為，

答：點(diǎn)M的運(yùn)動時間t與△APQ面積S的函數(shù)關(guān)系式是S=t2+6t(0<t2),S=t2+4t+3(2<t3),S的最大值是.