Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）判斷的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，-）;（2）△ABC是直角三角形,理由見解析；（3）m=．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A代入函數(shù)解析式即可求得b值，可得拋物線的解析式，根據(jù)解析式直接求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；（2）由函數(shù)解析式可以求得其與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得AB、BC、AC的長，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀；（3）先求得C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是m的值．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=

x2+bx-2上，

∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，

解得，b=-

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2

y=x2-x-2=（x2-3x-4）=（x-）2-，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，-）．

（2）當(dāng)x=0時(shí)y=-2，

∴C（0，-2），OC=2．

當(dāng)y=0時(shí)，

x2-x-2=0，

∴x1=-1，x2=4，

∴B（4，0）．

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形．

作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最小．

設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+n，

則，

解得n=2，k=-．

∴y=-x+2．

∴當(dāng)y=0時(shí)，-x+2=0，x=．

∴m=．