Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，以為直徑的圓交直線于另一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求的周長；

（3）將繞坐標(biāo)平面內(nèi)的某一點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是．若的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+1；

（2）△DEM的周長= ；

（3）點(diǎn)A1（ ， ）或（﹣， ）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（2）如圖1，A與E重合，根據(jù)直線y=﹣x+1求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)可得OA的長，由勾股定理得AB的長，利用等角的三角函數(shù)得：sin∠ABO= ，cos∠ABO= ，則可得DE和DM的長，根據(jù)M的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得縱坐標(biāo)，即ME的長，相加得△DEM的周長；

（3）由旋轉(zhuǎn)可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x+1，所以點(diǎn)O1，A1不可能同時(shí)落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)O1，B1的縱坐標(biāo)相等列方程可得結(jié)論；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)A1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)比點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)大 ，列方程可得結(jié)論．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+1交y軸于點(diǎn)B，∴B（0，1），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C（4，﹣2）．∴ ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+1；

（2）如圖1，∵直線y=﹣x+1交x軸于點(diǎn)A，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x+1=0，x=，∴A（，0），∴OA=，

在Rt△AOB中，∵OB=1，∴AB= ，∴sin∠ABO=，cos∠ABO=，

∵ME∥x軸，

∴∠DEM=∠ABO，

∵以ME為直徑的圓交直線BC于另一點(diǎn)D，

∴∠EDM=90°，

∴DE=MEcos∠DEM=ME，DM=MEsin∠DEM=ME，

當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，E和A重合，則m=OA=，

當(dāng)x=時(shí)，y=﹣ ×（）2+×+1= ；∴ME=，

∴DE= = ，DM= =，

∴△DEM的周長=DE+DM+ME= = ；

（3）由旋轉(zhuǎn)可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x+1，

∵O1A1⊥x軸，

∴點(diǎn)O1，A1不可能同時(shí)落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，

點(diǎn)O1，B1的縱坐標(biāo)相等，

∴﹣x2+x+1=﹣（x+1）2+（x+1）+1，

解得：x= ，

此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（ ， ），

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)A1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，

點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)比點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)大，

﹣x2+x+1+ =﹣（x+1）2+（x+1）+1，

解得：x=﹣，

此時(shí)A1（﹣， ），

綜上所述，點(diǎn)A1（ ， ）或（﹣， ）．