Question

（2005•威海）如圖，AF⊥CE，垂足為點(diǎn)O，AO=CO=2，EO=FO=1．
（1）求證：點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)；
（2）求四邊形BEOF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）解題思路：連接EF、AC，可通過證明EF是三角形ABC的中位線來求得；
（2）連接OB后我們發(fā)現(xiàn)，S_△OFC=S_△FOB，S_△OEB=S_△OEA，那么S_{四邊形BEOF}=S_△OEA+S_△OFC．
解答：（1）證明：連接EF、AC，
∵AO=CO=2，EO=FO=1，
∴EO：OC=FO：OA=1：2，
又∵∠EOF=∠AOC，
∴△AOC∽△FOE，
∴EF：AC=1：2，∠OEF=∠OCA，
∴EF∥AC，
∴EF是三角形ABC的中位線，
∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)；

（2）解：連接OB，
由（1）知：BF=CF，
又因?yàn)椤鱋FC和△BFO中CF和BF邊上的高相等，那么
S_△OFC=S_△BFO，
同理：S_△BOE=S_△AOE，
直角三角形AOE中，S_△AOE=1×2÷2=1，
同理S_△OFC=1，
因此S_{四邊形BEOF}=S_△BFO+S_△BOE=S_△OFC+S_△AOE=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似多邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的逆定理，三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)．