Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F．連接EF．下列結(jié)論：①BE+CF＝BC；②AD≥EF；③S四邊形AEDF＝AD2；④S△AEF≤，其中正確的是_____（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

由“ASA”可證△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷①，③，由三角形的三邊關(guān)系可判斷②，由三角形面積關(guān)系可判斷④．

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，

∴BD＝CD＝AD＝BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，BC＝AB，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC＝AB，

∴BE+CF＝BC，故①正確；

∵AE+AF≥EF，

∴AF+CF≥EF，

∴AC≥EF，

∴AD≥EF，故②錯(cuò)誤；

∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE＝S△CDF，

∴S四邊形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC＝×AD2，故③正確；

∵S△AEF＝×AE×AF，且AE+AF＝AC，

∴當(dāng)AE＝AF時(shí)，S△AEF的最大值＝S△ABC，

∴S△AEF≤，故④正確，

故答案為：① ③ ④