Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，c）（見(jiàn)圖1），且 ．

（1）求a、b、c的值；

（2）①在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)M，使三角形COM的面積是三角形ABC的面積的一半，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②在坐標(biāo)軸的其它位置是否存在點(diǎn)M，使三角形COM的面積三角形ABC的面積的一半仍然成立? 若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段CD延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否會(huì)改變？若不變，求其值；若改變，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=-2，b=3，c=2；（2）①M（，0）或（-，0）,②存在，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，5）或（0，-5）；（3）結(jié)論：的值是定值，=2．

【解析】

（1）根據(jù)絕對(duì)值、二次根式和平方的非負(fù)性，可得到，（c-2）2=0，計(jì)算即可解得a、b、c的值；

（2）由（1）可知A（-2，0），B（3，0），分情況討論：①由題意設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0），在OM=，結(jié)合△COM的面積是△ABC面積的一半，列出方程，解方程結(jié)合點(diǎn)M在x軸的正半軸即可求得此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②由①中的結(jié)果可得點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸時(shí)的坐標(biāo)；當(dāng)M在y軸上時(shí)，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，y），結(jié)合△COM的面積是△ABC面積的一半，列出方程，解方程即可求得點(diǎn)M在y軸上的符合條件的坐標(biāo)；

（3）由題意易證∠AOE+∠FOG=90°，∠FOG=∠POF，∠DOE=∠FOG，由此可得到∠OPD=∠POG=2∠FOG，從而可得=2.

（1）因?yàn)?/span>，根據(jù)絕對(duì)值、二次根式和平方的非負(fù)性，可以得到，（c-2）2=0，解得到a=-2，b=3；因?yàn)椋?/span>c-2）2=0，所以c=2，故a=-2，b=3，c=2；

（2）解：由（1）可知A（-2，0），B（3，0），則分情況討論點(diǎn)M：

①當(dāng)M在x軸上時(shí)，設(shè)M（m，0），由題意：|m|2=5，

∴m=±，

∴M（，0）或（-，0）．

②當(dāng)M在y軸上時(shí)，設(shè)M（0，m），由題意：|m|1=52，

∴m=±5，

∴M（5，0）或（0，-5），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為M（，0）或（-，0）或（0，5）或（0，-5）．

（3）解：如圖中，結(jié)論：的值是定值，=2．

理由：∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90°，

∴∠AOE+∠FOG=90°，

∵∠AOE=∠EOP，∠EOP+∠POF=90°，

∴∠FOG=∠POF，

∵∠DOE+∠AOE=90°，∠AOE+∠FOG=90°，

∴∠DOE=∠FOG，

∵CP∥AG，

∴∠OPD=∠POG=2∠FOG，

∴∠OPD=2∠FOG，

∴=2．