一節(jié)數(shù)學(xué)課后,老師布置了一道課后練習(xí)題:

如圖,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于點(diǎn)O,點(diǎn)PD分別在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于點(diǎn)E,求證:△BPO≌△PDE.

(1)理清思路,完成解答(2)本題證明的思路可用下列框圖表示:

根據(jù)上述思路,請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程.

(2)特殊位置,證明結(jié)論

若PB平分∠ABO,其余條件不變.求證:AP=CD.

(3)知識(shí)遷移,探索新知

若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí),滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′,請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)

考點(diǎn):

全等三角形的判定與性質(zhì).

分析:

(1)求出∠3=∠4,∠BOP=∠PED=90°,根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可;

(2)求出∠ABP=∠4,求出△ABP≌△CPD,即可得出答案;

(3)設(shè)OP=CP=x,求出AP=3x,CD=x,即可得出答案.

解答:

(1)證明:∵PB=PD,

∴∠2=∠PBD,

∵AB=BC,∠ABC=90°,

∴∠C=45°,

∵BO⊥AC,

∴∠1=45°,

∴∠1=∠C=45°,

∵∠3=∠PBO﹣∠1,∠4=∠2﹣∠C,

∴∠3=∠4,

∵BO⊥AC,DE⊥AC,

∴∠BOP=∠PED=90°,

在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE(AAS);

(2)證明:由(1)可得:∠3=∠4,

∵BP平分∠ABO,

∴∠ABP=∠3,

∴∠ABP=∠4,

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD(AAS),

∴AP=CD.

(3)解:CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′.

理由是:設(shè)OP=PC=x,則AO=OC=2x=BO,

則AP=2x+x=3x,

由(2)知BO=PE,

PE=2x,CE=2x﹣x=x,

∵∠E=90°,∠ECD=∠ACB=45°,

∴DE=x,由勾股定理得:CD=x,

即AP=3x,CD=x,

∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′

點(diǎn)評(píng):

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,等腰直角三角形性質(zhì),等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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(2013•湖州)一節(jié)數(shù)學(xué)課后,老師布置了一道課后練習(xí)題:
如圖,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于點(diǎn)O,點(diǎn)PD分別在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于點(diǎn)E,求證:△BPO≌△PDE.

(1)理清思路,完成解答(2)本題證明的思路可用下列框圖表示:

根據(jù)上述思路,請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程.
(2)特殊位置,證明結(jié)論
若PB平分∠ABO,其余條件不變.求證:AP=CD.
(3)知識(shí)遷移,探索新知
若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí),滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′,請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一節(jié)數(shù)學(xué)課后,老師布置了一道課后練習(xí)題:
如圖1,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,O為AC中點(diǎn).
(1)如圖1,若把三角板的直角頂點(diǎn)放置于點(diǎn)O,兩直角邊分別與AB、BC交于點(diǎn)M、N,求證:BM=CN;
(2)若點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),在射線BC上找一點(diǎn)D,使PD=PB,再過點(diǎn)D作BO的平行線,交直線AC于一點(diǎn)E,試在備用圖上探索線段ED和OP的關(guān)系,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(浙江湖州卷)數(shù)學(xué)(帶解析) 題型:解答題

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如圖,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于點(diǎn)O,點(diǎn)PD分別在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于點(diǎn)E,求證:△BPO≌△PDE.

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根據(jù)上述思路,請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程.
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如圖,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于點(diǎn)O,點(diǎn)PD分別在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于點(diǎn)E,求證:△BPO≌△PDE.

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